Меню

5 угольная призма сделай сам

Пятиугольная призма при решении задач по геометрии встречается гораздо реже, чем такие призмы, как треугольная, четырехугольная или шестиугольная. Тем не менее полезно рассмотреть основные свойства этой фигуры, а также узнать, как ее можно нарисовать.

Речь идет об объемной фигуре, основания которой являются пятиугольниками, а боковые стороны — параллелограммами. Если каждый из этих параллелограммов будет перпендикулярен параллельным основаниям, то такая призма называется прямоугольной. Боковая поверхность прямоугольной пятиугольной призмы составлена из пяти прямоугольников. Причем прилегающая к основанию сторона каждого из них равна соответствующей длине стороны пятиугольника.

Если пятиугольник будет правильным, то есть все его стороны и углы будут равны друг другу, тогда такая прямоугольная призма называется правильной. Далее в статье будем рассматривать свойства именно этой фигуры.

Для нее, как и для любой призмы, характерны следующие элементы:

  • грани или стороны — это части плоскостей, ограничивающих фигуру в пространстве;
  • вершины — точки пересечения трех сторон;
  • ребра — отрезки пересечения двух сторон фигуры.

Числа всех названных элементов связаны друг с другом следующим равенством:

Число ребер = число вершин + число граней — 2

Это выражение носит название формулы Эйлера для полиэдра.

В пятиугольной призме количество сторон равно семи (два основания + пять прямоугольников). Число вершин составляет 10 (по пять для каждого основания). Число ребер в таком случае будет равно:

Десять ребер принадлежат основаниям призмы, а пять ребер образованы прямоугольниками.

Ответ на этот вопрос зависит от конкретной задачи. Если необходимо начертить произвольную призму, тогда следует изобразить любой пятиугольник. После этого провести пять параллельных отрезков равной длины из каждой вершины пятиугольника. Затем, соединить верхние концы отрезков. Получилась пятиугольная произвольная призма.

Если же следует начертить правильную призму, тогда вся сложность задачи сводится к получению правильного пятиугольника. Существует несколько способов начертить этот многоугольник. Здесь мы рассмотрим только два способа.

Первый способ заключается в построении окружности с помощью циркуля. Затем проводится произвольный диаметр окружности и от него отсчитывается с помощью транспортира пять углов по 72 o (5*72 o = 360 o ). При отсчете каждого угла делается насечка на окружности. Для построения прямоугольника остается соединить прямыми отрезками отмеченные насечки.

Второй способ предполагает использование только циркуля и линейки. Он является несколько сложным в сравнении с предыдущим. Ниже приводится видео, где подробно объясняется каждый шаг такого построения.

Заметим, что пятиугольник легко нарисовать, если соединить концы звезды. Если нет необходимости чертить точно правильный пятиугольник, тогда можно использовать способ со звездой, нарисованной от руки.

Как только пятиугольник изображен, следует из каждой его вершины провести пять одинаковых параллельных отрезков и соединить их вершины. Получится пятиугольная призма.

Теперь рассмотрим вопрос, как найти площадь пятиугольной призмы. На рисунке ниже приведена ее развертка. Видно, что искомая площадь образована двумя одинаковыми пятиугольниками и пятью равными друг другу прямоугольниками.

Площадь всей поверхности фигуры выразится формулой:

Здесь индексы o и p означают основание и прямоугольник соответственно. Обозначим длину стороны пятиугольника как a, а высоту фигуры как h. Тогда для прямоугольника запишем:

Чтобы вычислить площадь пятиугольника, воспользуемся универсальной формулой:

Где n — число сторон многоугольника. Подставляя n = 5, получаем:

Точность полученного равенства составляет 3 знака после запятой, что вполне достаточно для решения любых задач.

Теперь остается найти сумму полученных площадей основания и боковой поверхности. Имеем:

Следует помнить, что полученная формула справедлива только для прямоугольной призмы. В случае с косоугольной фигурой площадь ее боковой поверхности находят, исходя из знания периметра среза, который должен быть перпендикулярен всем параллелограммам.

Формула расчета объема пятиугольной призмы ничем не отличается от аналогичного выражения для любой другой призмы или цилиндра. Объем фигуры равен произведению ее высоты на площадь основания:

Если рассматриваемая призма является прямоугольной, тогда высота в ней является длиной ребра, образованного прямоугольниками. Площадь правильного пятиугольника была вычислена выше с высокой точностью. Подставим это значение в формулу для объема и получим необходимое выражение для пятиугольной правильной призмы:

Таким образом, вычисление объема и площади поверхности пятиугольной правильной призмы возможно, если известна сторона основания и высота фигуры.

источник

В основе геометрического тела – призмы лежат многоугольники, а каждая боковая грань – параллелограмм. Непосвященный, возможно, немного испугался. Но если вашего ребенка просят прийти на урок с призмой, вы, естественно, захотите помочь ему и объяснить, как сделать призму из бумаги.

Начнем с изготовления прямой призмы. В этой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Наиболее проста в изготовлении своими руками призма из бумаги с тремя гранями, так как в ее основаниях лежат простейшие из многоугольников – треугольники. Изготовим «правильную» призму. У нее основания представлены равносторонними треугольниками.

Продумаем, какая по высоте будет наша треугольная призма из бумаги. Начертим прямоугольник-с одной стороной, равной высоте, а другой — равной длине периметру треугольника в основании. Полученный прямоугольник разделим параллельными прямыми на три равные части. От углов прямоугольника, находящегося в середине, циркулем проведем окружности с радиусом, равным стороне нашего треугольника в основании. Где окружности пересекутся за пределами первоначального прямоугольника, поставим точки и соединим их с центрами окружностей. Мы должны получить фигуру, изображенную в середине рисунка. Далее фигуру вырезаем с небольшими припусками для склеивания, сгибаем по имеющимся прямым линиям и получаем готовую призму.

По какому шаблону изготавливается призма из бумаги с четырьмя гранями, наглядно демонстрирует схема на рисунке.

Пример заготовки для пятигранной призмы представлен на рисунке. Здесь высота пирамиды 10 см, длина сторон у пятигранника в основании по 3 см. Похожим образом может быть изготовлена шестиугольная призма из бумаги, но в ее основании лежит шестиугольник.

Наклонная призма из бумаги представлена на этом рисунке. Ее боковые грани находятся под углом к основанию. Такую призму можно изготовить по шаблону-развертке.

Освоив изготовление призмы, можно приступать к следующим геометрическим фигурами: пирамиде, параллелепипеду и более сложному икосаэдру из бумаги.

источник

Призма – объемная фигура, многогранник, видов которого дюже много: положительные и неправильные, прямые и наклонные. По фигуре, лежащей в основании, призма бывает от треугольной до многоугольной. Проще каждого сделать прямую призму, а вот над наклонной надобно немножко огромнее потрудиться.

Вам понадобится

  • – циркуль;
  • – линейка;
  • – карандаш;
  • – ножницы;
  • – клей;
  • – бумага либо картон.

1. Начертите основания призмы, в данном случае это будут 2 шестиугольника. Для того, дабы начертить верный шестиугольник воспользуйтесь циркулем. Нарисуйте им круг, и с подмогой этого же радиуса поделите окружность на шесть частей (у верного шестиугольника стороны равны радиусу описанной окружности). Получившаяся фигура напоминает ячейку пчелиной соты. Неверный шестиугольник начертите произвольно, но с подмогой линейки.

2. Сейчас приступайте к проектированию «выкройки». Стенками призмы являются параллелограммы, и вам необходимо их начертить. В прямой модели параллелограммом будет легкой прямоугольник. И его ширина будет неизменно равна стороне шестиугольника, лежащего в основании призмы. При верной фигуре в основании, все грани призмы будут равны между собой. При неправильной – всей стороне шестиугольника будет соответствовать только один параллелограмм (одна боковая грань), подходящий по размеру. При этом следите за последовательностью размеров граней.

3. На горизонтальной прямой ступенчато отложите 6 отрезков, равных стороне основания шестиугольника. Из полученных точек проведите перпендикулярные линии требуемой высоты. Концы перпендикуляров объедините 2-й горизонтальной линией. У вас получилось 6 прямоугольников, объединенных совместно.

4. Пристройте к нижней и верхней стороне одного из прямоугольников 2 сконструированных ранее шестиугольника. К любому основанию, если он положительный, и к соответствующему по длине, если шестиугольник неверный. Обведите силуэт сплошной линией, а линии сгиба внутри фигуры – пунктирной. У вас получилась развертка поверхности прямой призмы.

5. Для создания наклонной призмы основания оставьте такими же. Начертите сторону-параллелограмм, которая будет являться одной из граней. Таких граней должно быть шесть, как вы помните. Дабы сейчас начертить развертку наклонной призмы, надобно расположить шесть параллелограммов в дальнейшем порядке: три по возрастанию, так, дабы их косые стороны образовали одну линию, дальше три по убыванию с тем же условием. Крутизна получившейся линии прямо пропорциональна градусу наклона призмы.

6. К пяти прямоугольникам в развертке пририсуйте небольшие трапециевидные захлесты на коротких сторонах для склеивания фигуры, а также на одной свободной длинной стороне. Вырежете заготовку для призмы совместно с захлестами и склейте модель.

Призма – это прибор, тот, что разделяет типичный свет на отдельные цвета: алый, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и вследствие этому разрешает увидеть свет в различных цветах. Сделать призму самосильно достаточно легко.

Вам понадобится

  • Два листа бумаги
  • Фольга
  • Стакан
  • Компакт Диск
  • Кофейный столик
  • Фонарик
  • Булавка
  • Вода

1. Призму дозволено сделать из простого стакана. Наполните стакан водой чуть огромнее чем наполовину. Разместите стакан на край кофейного столика так, дабы примерно половина дна стакана повисла в воздухе. При этом следите, дабы стаканчик стоял на столе устойчиво.

2. Положите два листа бумаги один за одним рядом с кофейным столом. Включите фонарь и посветите лучиков света через стакан, так, дабы он падал на бумагу.

3. Регулируйте расположение фонаря и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.

Читайте также:  Как можно сделать шатер самим

Видео по теме

Базовым навыком художника в академическом рисунке является знание изображать на плоскости простейшие объемные геометрические формы – куб, призму , цилиндр, конус, пирамиду и шар. Владея этим навыком, дозволено выстраивать больше трудные, комбинированные объемные формы архитектурных и прочих объектов. Призма – это многогранник, две грани (основания) которого имеют идентичную форму и параллельны друг другу. Боковые грани призмы являются параллелограммами. По числу боковых граней призмы могут быть 3-, четырехгранными и т.д.

Вам понадобится

  • – бумага для рисования;
  • – примитивные карандаши;
  • – мольберт;
  • – призма либо предмет, имеющий форму призмы (деревянный брусок, коробка, шкатулка, деталь детского конструктора и т.п.), желанно белого цвета.

1. Возвести призму дозволено, вписав ее либо в параллелепипед, либо в цилиндр. Стержневой трудностью при рисовании призмы является положительное построение формы 2-х граней ее основания. При рисовании призмы, лежащей на одной из боковых граней, появляется добавочная трудность соблюдения законов перспективы, от того что в таком расположении становится приметным перспективное сокращение боковых граней.

2. Рисование вертикально расположенной призмы начните с обозначения ее центральной оси – вертикальной линии, проведенной посередине листа. На линии оси подметьте центр верхней (видимой) грани основания и проведите через эту точку горизонтальную линию. Определите соотношение высоты и ширины призмы способом визирования: посмотрите на натуру, прикрыв один глаз, и, держа карандаш в вытянутой руке на ярусе глаз, подметьте пальцем на карандаше видимую с вашей точки зрения ширину призмы и мысленно уложите это расстояние по линии высоты призмы определенное число раз (сколько получится).

3. Отмеривая отрезки карандашом теснее на рисунке, подметьте ширину и высоту призмы точками на 2-х нарисованных ранее линиях, соблюдая полученное соотношение. Нарисуйте эллипс вокруг центра верхней грани. Усердствуйте верно передать его воображаемую форму, глядя на натуру. Нарисуйте приблизительно такой же эллипс (но менее сплюснутый) и в плоскости нижней грани основания призмы. Полученные эллипсы объедините двумя вертикальными линиями.

4. Сейчас на верхнем эллипсе необходимо подметить отрезки пересечения боковых граней и ее оснований. Глядя на натуру, подметьте точки – вершины многоугольника – лежащего в основании призмы, как вы их видите, и ступенчато объедините их между собой. Из этих точек проведите линии вниз до пересечения с нижним эллипсом. Полученные точки пересечения так же объедините. При последующем рисовании грани, заметные с выбранной точки зрения, стираются либо заштриховываются, следственно все вспомогательные линии построения рисуйте без нажима.

5. Лежащую на боку призму нарисуйте с подмогой вспомогательного параллелепипеда. Ориентируясь на натуру, вычертите параллелепипед, соблюдая тезисы перспективы – линии боковых ребер при их мысленном продолжении до линии горизонта, находящейся неизменно на ярусе глаз зрителя, сходятся в одной точке. Следственно далекая от нас (заметная) грань будет немножко поменьше передней. При определении соотношений сторон параллелепипеда пользуйтесь способом «вытянутой руки» (либо визирования).

6. На передней и задней квадратных гранях подметьте вершины многоугольников, лежащих в основании призмы, и постройте их. Объедините эти точки попарно на 2-х гранях – нарисуйте боковые ребра призмы. Удалите непотребные линии. Больше близкие к вам линии ребер и углы призмы выделите пожирнее, а удаленные обозначьте легкими линиями.

7. Глядя на натуру, определите угол падения света, самую ясную, самую затененную грани и с подмогой штриховки различной интенсивности передайте эти световые соотношения в рисунке. Нарисуйте падающую от предмета тень. Рубеж соприкосновения призмы и стола подчеркните самой темной линией. Обратите внимание, что на самую затененную грань призмы снизу падает свет, отраженный от поверхности стола (рефлекс), и чуть приметно ее освещает. При наложении штриховки на эту грань учтите данный результат и в месте рефлекса наложите менее насыщенный тон.

Видео по теме

Призма – это многогранник, образованный любым финальным числом граней, две из которых – основания – непременно обязаны быть параллельны. Любая прямая линия, проведенная перпендикулярно основаниям, содержит соединяющий их отрезок, называемый высотой призмы. Если все боковые грани примыкают к обоим основаниям под углом в 90°, призма именуется прямой .

Вам понадобится

  • Чертеж призмы, карандаш, линейка.

1. В прямой призме всякое боковое ребро по определению перпендикулярно основанию. А расстояние между параллельными плоскостями боковых граней идентично в всякий точке, в том числе и в тех точках, где боковое ребро примыкает к ним. Из этих 2-х обстоятельств вытекает, что длина ребра всякий боковой грани прямой призмы равна высоте этой объемной фигуры. Значит, если у вас есть чертеж, на котором изображен такой многогранник, на нем теснее присутствуют отрезки (ребра боковых граней), весь из которых дозволено обозначить и как высоту призмы. Если это не запрещено условиями задания, примитивно обозначьте всякое боковое ребро как высоту, и задача будет решена.

2. Если требуется провести на чертеже несовпадающую с боковыми ребрами высоту, начертите параллельный любому из этих ребер отрезок, соединяющий основания. Не неизменно это дозволено сделать «на глаз», следственно постройте две вспомогательные диагонали на боковых гранях – объедините пару всяких углов на верхнем и соответствующую им пару на нижнем основании. После этого отмерьте на верхней диагонали всякое комфортное расстояние и поставьте точку – это будет пересечение высоты с верхним основанием. На нижней диагонали отмерьте верно такое же расстояние и поставьте вторую точку – пересечение высоты с нижним основанием. Объедините эти точки отрезком, и построение высоты прямой призмы будет завершено.

3. Призма может быть изображена с учетом перспективы, то есть длины идентичных ребер фигуры могут иметь на рисунке различную длину, боковые грани могут примыкать к основаниям под различными и не неукоснительно прямыми углами и т.д. В этом случае, дабы верно соблюсти пропорции, действуйте так же, как описано в предыдущем шаге, но точки на верхней и нижней диагоналях ставьте верно в их серединах.

Детально – как сложить лист бумаги и вырезать прекрасную снежинку.

Вам понадобится

  • Лист бумаги, у меня – обыкновенный лист А4, отменнее брать огромные салфетки
  • Ножницы

1. Сворачиваем лист поперек вдвое

2. Сейчас по вдвое, лишь для того, дабы обнаружить середину

3. Заворачиваем края бумаги, сложенной вдвое, поочередно – видно как на фото

4. Следим, дабы листик загнулся равномерно, и концы доставали до сгибов.

5. Сейчас сворачиваем вдвое полученный конвертик. Необходимо потренироваться, дабы добиться того, дабы внешний край листа доходил ровно до сгиба.

6. Пока навыка нет, класснее рисовать приблизительный силуэт снежинки заблаговременно.

7. Аккуратненько вырезаем по силуэту.

8. Старательно разворачиваем.

Обратите внимание!
Помните, что невозможно делать сквозной разрез , снежинка распадется на части.

Полезный совет
Чем тоньше бумага, тем проще вырезать снежинку. Дозволено делать снежинки и из фольги.

Обратите внимание!
В развертке наклонной призмы не чертите ее грани под слишком огромным углом, напротив модель будет неустойчивой.

источник

Для сборки призмы потребуется распечатать развёртку на обычном листе формата А4. Скачать развёртку.

1. Вырезанную развёртку призмы сгибаем по обозначенным линиям.

3. Приклеиваем детали в месте склеивания № 2 и № 3.

4. Получаем готовую модель правильной призмы.






Памятник многограннику «Усечённый большой додекаэдр» был обнаружен в г.Обнинске напротив здания «ДОСААФ».

В выпуске 25 «Волшебных граней» мы обратили взор читателя на то, что разрезая куб плоскостью, мы получаем в точке разреза.

Он круглый, но развёртку деталей для его сборки никто не отменял!

Фестиваль Увлекательной Науки состоится в Москве 24 и 25 апреля 2015 года на физфаке Московского.

Находясь в компании модной одежды и аксессуаров, многогранник чувствует себя вполне уверенно.

Под руководством учителя математики Тимофеевой Татьяны Юрьевны ребята работали над проектом «Удивительный мир.

У каждого из пяти платоновых тел можно определить следующие математические характеристики: 1. Радиус сферы описанной вокруг.

источник

Для сборки призмы потребуется распечатать развёртку на обычном листе формата А4. Скачать развёртку.

1. Вырезанную развёртку призмы сгибаем по обозначенным линиям.

3. Приклеиваем детали в месте склеивания № 2 и № 3.

4. Получаем готовую модель правильной призмы.






Знакомые каждому с детства коробочки для Биг-Мака и картошки, стаканчик для Кока-Колы так же.

Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости.

На первый взгляд может показаться, что выбор клея, задача совсем простая, тем более для бумаги (картона). Но, когда получаешь.

По мнению некоторых духовных учений уже привычный для нас многогранник — соединение двух.

Приходилось ли вам сталкиваться с кубом, грани которого могут изменять свой цвет? Если да, то вполне вероятно вы уже сталкивались с флексагонами.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве именуется стереометрия. Происхождение слова стереометрия относится к.

Сюжет фантастического блокбастера «Пятый элемент», построен на легенде, что существуют пять элементов.

источник

Пятиугольная призма — это призма с пятиугольным основанием. Это вид семигранника с 7 гранями, 15 рёбрами и 10 вершинами.

Однородная пятиугольная призма Тип Призматический
однородный
многогранник U76(c) Свойства выпуклый многогранник Комбинаторика Элементы

15 рёбер
10 вершин
Χ = 2
Грани 2пятиугольника
5 квадратов Конфигурация вершины [Файл:Pentagonal prism vertfig.png]
4.4.5 Двойственный многогранник Пятиугольная бипирамида Классификация Символ Шлефли t <2,5>или <5>x<>
Читайте также:  Как самому сделать форму для кулича из бумаги
Символ Витхоффа 2 5 | 2 Диаграмма Дынкина Группа симметрии D5h [5,2], (*522), порядок = 20;
Группа вращений:
D5, [5,2] + , (522), порядок=10

Если все грани правильные, пятиугольная призма становится полуправильным многогранником. Более обще, призма является однородным многогранником , третьим в списке бесконечных призм, образованных квадратными сторонами и двумя правильными многоугольниками в качестве оснований призмы. Пятиугольную призму можно рассматривать как усечённый пятиугольный осоэдр, представленный символом Шлефли t<2,5>. Альтернативно, эту призму можно рассматривать как прямое произведение правильного пятиугольника отрезка с символом Шлефли <5>x<>. Двойственный многогранник пятиугольной призмы — пятиугольная бипирамида.

Объём, как и для всех призм, равен произведению площади пятиугольного основания на высоту (или длину ребра, перпендикулярному основанию). Для однородной пятиугольной призмы с рёбрами длиной h формула объёма

h 3 4 5 ( 5 + 2 5 ) <\displaystyle <\frac ><4>><\sqrt <5(5+2<\sqrt <5>>)>>>

Неоднородные пятиугольные призмы называются пентапризмами и используются в оптике для вращения изображения на прямой угол без изменения хиральности.

Пятиугольная призма встречается в качестве ячейки четырёх непризматических однородных четырёхмерных многогранников в четырёхмерном пространстве:

Скошенный 600-ячейник
Скошено-усечённый 600-ячейник
Обструганный 600-ячейник
Струг-усечённый 600- ячейник
Семейство правильных призм

Многоугольник
Мозаика
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4

Два́жды наращённая пятиуго́льная при́зма — один из многогранников Джонсона (J53, по Залгаллеру — П5+2М2).

Составлена из 13 граней: 8 правильных треугольников, 3 квадратов и 2 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных 2 грани окружены двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 1 грань — двумя пятиугольными и двумя треугольными; среди треугольных граней 4 окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 4 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 23 ребра одинаковой длины. 6 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 4 ребра — между пятиугольной и треугольной, 1 ребро — между двумя квадратными, 4 ребра — между квадратной и треугольной, остальные 8 — между двумя треугольными.

У дважды наращённой пятиугольной призмы 12 вершин. В 2 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 8 вершинах — пятиугольная, квадратная и две треугольных; в 2 вершинах — четыре треугольных.

Дважды наращённую пятиугольную призму можно получить из трёх многогранников — двух квадратных пирамид (J1) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основания пирамид к любым двум не смежным квадратным граням призмы.

Двенадцатигра́нник — многогранник с двенадцатью гранями.

Существует несколько объёмных фигур с двенадцатью гранями.

Зоноэдр — многогранник, представимый как сумма Минковского конечного числа отрезков. Зоноэдры в n <\displaystyle n> -мерном пространстве называются также зонотопами.

Впервые определены и исследованы Евграфом Степановичем Фёдоровым. [источник не указан 651 день]

Наращённая пятиуго́льная при́зма — один из многогранников Джонсона (J52, по Залгаллеру — П5+М2).

Составлена из 10 граней: 4 правильных треугольников, 4 квадратов и 2 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 2 окружены двумя пятиугольными и двумя квадратными, другие 2 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной; среди треугольных граней 2 окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 2 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 19 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 2 ребра — между пятиугольной и треугольной, 3 ребра — между двумя квадратными, 2 ребра — между квадратной и треугольной, остальные 4 — между двумя треугольными.

У наращённой пятиугольной призмы 11 вершин. В 6 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 4 вершинах — пятиугольная, квадратная и две треугольных; в 1 вершине — четыре треугольных.

Наращённую пятиугольную призму можно получить из двух многогранников — квадратной пирамиды (J1) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу квадратными гранями.

Ортоцентрический тетраэдр — тетраэдр, все высоты которого, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Пентаго́ндодека́эдр (от др.-греч. δωδεκάεδρον — «двенадцатигранник» и πενταγον «пятиугольник») — объёмная фигура с двенадцатью гранями в форме неправильных пятиугольников.

Правильногранный многогранник — это выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным многоугольником.

Правильногранный многогранник называется телом Джонсона или многогранником Джонсона,

если он не является ни платоновым телом (правильным многогранником), ни архимедовым, ни призмой, ни антипризмой.

Примером тела Джонсона служит пирамида с квадратным основанием и сторонами в виде правильных треугольников (J1(М2). Она имеет 1 квадратную грань и 4 треугольных.

Как и во всяком строго выпуклом теле, у этих многогранников к каждой вершине примыкает по меньшей мере три грани и сумма их углов (прилегающих к вершине) меньше 360º. Поскольку правильные многоугольники имеют углы по меньшей мере в 60º, максимум пять граней могут прилегать к вершине. Пятиугольная пирамида (J2) является примером, в котором имеется вершина пятого порядка (то есть с пятью гранями).

Хотя нет явного ограничения на правильные многоугольники, которые могут служить гранями тел Джонсона, на самом деле грани могут иметь только 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон, причём треугольные грани (не менее четырёх) имеются у любого тела Джонсона.

Из тел Джонсона удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол (J37), который называют также псевдоромбокубооктаэдром, единственный обладает свойством локальной вершинной однородности — в каждой вершине находятся 4 грани и их расположение одинаково — 3 квадрата и 1 треугольник.

Однако тело вершинно транзитивным не является, поскольку обладает различной изометрией в различных вершинах,

что и делает его телом Джонсона, а не архимедовым телом.

Призматоид ― многогранник, две грани которого (основания призматоида) лежат в параллельных плоскостях, а остальные являются треугольниками или трапециями, причём у треугольников одна сторона, а у трапеций оба основания являются сторонами оснований призматоида.

В геометрии пятиугольная бипирамида (или дипирамида) — это третье тело в бесконечном множестве изоэдральных бипирамид. Каждая бипирамида является двойственным многогранником для однородных призм.

Хотя тело является изоэдральным, оно не является правильным, поскольку в некоторых вершинах сходятся четыре грани, в других — пять граней.

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника.

Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены.

Ромбоикосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников, 30 квадратов и 20 треугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. В каждой из вершин сходятся треугольник, пятиугольник и 2 квадрата.

Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр, чем он по сути и является.

Ромботриаконтáэдр( от греч. τριάκοντα (греч. τριάντα) — «тридцать» и εδρον — «грань») — выпуклый тридцатигранник с одинаковыми ромбическими гранями. Относится к каталановым телам. Является двойственным по отношению к икосододекаэдру и зоноэдром.

Отношение длинной диагонали к короткой диагонали каждой его грани равно золотому сечению, поэтому грани ромботриаконтаэдра называются «золотыми ромбами».

У ромботриаконтаэдра 32 вершины, 12 из них находятся при острых углах 5 ромбов, остальные 20 — при тупых углах 3 ромбов. Острые углы ромбов примерно равны 63,43°, а тупые 116,57° соответственно. В ромботриаконтаэдр можно вписать икосаэдр, додекаэдр, 5 октаэдров, 5 кубов и 10 тетраэдров, так чтобы все их вершины совпадали с некоторыми из его вершин. У него 358 833 097 звёздчатых форм.

Форму ромботриаконтаэдра имеет магнитный конструктор-головоломка «The Ball of Whacks», состоящий из 30 содержащих магниты пластмассовых пирамидальных деталей, ромбические основания которых в собранном виде головоломки являются гранями ромботриаконтаэдра, а вершины пирамид совпадают в его центре.

Теорема Бликера — факт, доказанный Дэвидом Бликером в 1996 году: из развёртки выпуклого многогранника с треугольными гранями всегда можно сложить невыпуклый многогранник с бо́льшим объёмом. Например, из развёртки тетраэдра можно сделать невыпуклый многогранник, который превосходит по объёму исходный тетраэдр более чем на 37,7 %. При этом по теореме Александрова выпуклый многогранник бо́льшего объёма таким образом сделать нельзя.

В 2006 году независимо Гурием Самариным и Игорем Паком результат обобщён: условие треугольности граней можно опустить.

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Усечённая пирами́да — многогранник, образованный частью пирамиды отсечённой плоскостью параллельной её основанию.

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. В каждой из вершин сходятся 2 шестиугольника и пятиугольник. Каждый из пятиугольников со всех сторон окружён шестиугольниками. Усечённый икосаэдр — один из самых распространённых полуправильных многогранников, так как именно эту форму имеет классический футбольный мяч (если представить его пятиугольники и шестиугольники, обычно окрашенные соответственно чёрным и белым, плоскими). Эту же форму имеет молекула фуллерена C60, в которой 60 атомов углерода соответствуют 60 вершинам усечённого икосаэдра.

Усечённый тетра́эдр — полуправильный многогранник, получающийся из тетраэдра удваиванием количества сторон у граней, и на месте вершин создаются новые грани.

Читайте также:  Сделай сам своими руками летающую тарелку

Формула Шлефли — соотношение на производные двугранных углов и длины рёбер семейства многогранников.

Предложена Людвигом Шлефли.

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

источник

Призма — это геометрическое тело, многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы. Для непосвященного, возможно, это звучит несколько устрашающе. И, когда вашему ребенку на урок геометрии надо принести призму, собственноручно изготовленную дома, вы пребываете в растерянности, не зная как помочь своему любимому чаду. На самом деле все не так уж и сложно и, воспользовавшись нашими советами, как сделать призму, вы достойно справитесь с этой проблемой.

Сразу условимся, что делать мы будем прямую призму, то есть призму, у которой боковые ребра будут перпендикулярны основаниям. Сделать же наклонную призму из бумаги весьма проблематично (подобные макеты обычно выполняются из проволоки).

Мы уже знаем, что в основаниях призмы лежат два одинаковых многоугольника. Поэтому нашу работу начнем именно с них. Простейший из многоугольников – треугольник. Значит, и призму сначала будем делать треугольную.

Нам понадобится плотная белая бумага для черчения, карандаш, транспортир, циркуль, линейка, ножницы и клей.

Чертим треугольник, можно любой, но чтобы наша призма получилась особенно красивой, треугольник сделаем равносторонний. Такая призма в геометрии называется «правильная». Выбираем на свое усмотрение величину стороны треугольника, допустим 10 см. Линейкой откладываем этот отрезок на бумаге и транспортиром отмеряем угол в 60 ∗ от одного конца нашего отрезка.

Проводим наклонную линию. На ней при помощи линейки откладываем 10 см от конца отрезка. Таким образом, мы нашли третью вершину треугольника. Соединяем эту точку с концами начального отрезка и равносторонний треугольник готов. Его можно вырезать. Аналогично делаем второй треугольник, или аккуратно обводим на бумаге контуры первого. Ну вот, два основания у нас уже есть.

Делаем боковые грани. Решаем, какая у призмы будет высота. Допустим, 20 см. Чертим прямоугольник, у которого величина одной стороны это высота призмы (в нашем случае – 20 см), а вторая сторона равна величине стороны основания, умноженной на количество этих сторон (у нас: 10 см х 3 = 30 см).

На длинных сторонах делаем отметки через каждые 10 см. Соединяем противоположные отметки прямыми линиями. По ним потом надо будет аккуратно согнуть бумагу. Это — боковые ребра нашей призмы. Намечаем узкие припуски для склеивания по двум длинным и одной короткой стороне прямоугольника (достаточно полосок шириной 1 см). Вырезаем прямоугольник вместе с припусками, аккуратно отгибаем их по разметке. Сгибаем ребра.

Начинаем сборку. Склеиваем прямоугольник по боковой грани в трубу треугольного сечения. Сверху и снизу на отогнутые припуски наклеиваем треугольники-основания. Призма готова.

Вдаваться в подробности вопроса как сделать призму из картона, пожалуй, не стоит. Весь алгоритм сборки остается таким же, только бумагу замените тонким картоном. Меняя количество сторон у многоугольников основания, вы теперь самостоятельно сможете сделать и пяти- и шестиугольную призму.

источник

На этом уроке мы узнаем, какую геометрическую фигуру называют призмой. Рассмотрим, как ее можно построить. Дадим определение n-угольной призмы. Рассмотрим понятие перпендикулярности прямой и плоскости. Дадим определение прямой и наклонной призме. А также, узнаем, что такое высота призмы.

Мы с вами начали изучать многогранники. Напомню, что многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Призма – это один из видов многогранника. Можно привести много примеров призмы из реальной жизни. Это и многогранный карандаш, гайка, коробка, холодильник и многое другое.

Частные случаи призмы мы уже рассматривали ранее – это прямоугольный параллелепипед и куб.

Давайте рассмотрим, как можно построить многогранник, называемый призмой.

Итак, пусть есть две параллельные плоскости α и β. Параллельными называют плоскости, которые не имеют общих точек. Теперь в плоскости α возьмем какой-нибудь произвольный многоугольник A1A2..An, а в плоскости β – равный ему многоугольник B1B2…Bn. Причем так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. Теперь проведем отрезки A1B1, A2B2, A3B3…AnBn. В итоге, получим n четырехугольников Рассмотрим например, четырехугольник .

Значит, – параллелограмм.

Построенный многогранник , называется n-угольной призмой.

Oпределение. n-угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

На рисунке, n-угольная призма. A1A2… и B1B2…Bn – основания призмы, параллелограммы A1A2B2B1…AnA1B1Bnбоковые грани. А стороны A1B1…AnBnбоковые ребра призмы. Все они равны и параллельны друг другу, как стороны параллелограммов.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B1A3, называется диагональю призмы.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, АB называется высотой призмы.

Для того чтобы дать определение высоте призмы, необходимо ввести понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость α. Прямая а, пересекающая плоскость α в некоторой точке М, называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α и проходящей через точку М.

Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: . Говорят, «прямая а перпендикулярна плоскости α».

Определение. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. А у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Задание. Укажите, какая из призм является пятиугольной? Какая из призм является правильной? Какой многоугольник лежит в ее основании?

Итак, напомню, что призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Так как нам нужно определить именно пятиугольную призму, значит, в ее основании должен лежать пятиугольник. Из указанных призм, подойдем вторая. В ее основании лежит пятиугольник.

Теперь нужно определить правильную призму. Напомню, что прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. В основании первой призмы лежит квадрат. Квадрат – это правильный многоугольник. Следовательно, первая призма правильная.

Ответ: б) пятиугольная призма; а) правильная призма.

«Призма» переводится с древнегреческого πρίσμα – «обрезок».

С призмой связан такой удивительный по красоте известный феномен природы, как радуга. Известно, что солнечный свет или обычный луч белого света в действительности является сочетанием семи цветов. Это доказал еще в 1666 году Исаак Ньютон. Он писал: «Я затемнил мою комнату и сделал очень маленькое отверстие в ставне для пропуска солнечного цвета. На пути солнечного луча я поставил особое трехгранное стеклышко – призму. На противоположной стене я увидел разноцветную полоску – спектр». Ньютон объяснил это тем, что призма разложила белый свет на составляющие его цвета. Таким образом, Ньютон первый разгадал, что солнечный луч многоцветный.

Что касается радуги, то миллиарды мельчайших дождевых капелек работают как маленькие призмы.

Призмы используются в различных станках и механизмах, в строительстве. В оптике имеется большое количество именных призм: призма Броунинга-Резерфорда, призма Амичи, призма Аббе, призма Лемана, призма Фуко и еще два десятка других специальных призм.

На этом уроке мы познакомились с призмой. Узнали, что n-угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные н-угольники, а остальные эн граней – параллелограммы.

Равные н-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название: например, треугольная призма, четырехугольная призма, н-угольная призма.

Ввели понятие высоты призмы. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

А также узнали, какие призмы называют прямыми, а какие – наклонными.

источник